Конус

Белоброва Татьян а Валерьевна

Учитель математики высшей категории

МКОУ СОШ №1 г.Сим

Челябинской области

Конусом называется тело, которое состоит из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершина конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания

• Конус называется прямым , если его высота падает в центр основания

• Если высота конуса не падает в центр основания, то конус называется наклонным

Элементы конуса

Все образующие конуса равны между собой и составляют один угол с основанием

Конус можно получить, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов.

При этом осью вращения будет прямая, содержащая высоту конуса.

Эта прямая так и называется – осью конуса

СЕЧЕНИЯ КОНУСА

Сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину и хорду основания

Осевое сечение

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию

Сечение конуса плоскостью, не параллельной основанию

l=R

L =2 π r

Развертка боковой поверхности конуса – сектор круга, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги его равна длине окружности основания конуса, т.е. 2 π R

ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки

l=R

S БОК . = π rl

L =2 π r

ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

Площадью полной поверхности

конуса называется сумма

площадей боковой поверхности

и основания

l=R

L =2 π r

S БОК + S кр . = π rl + π r 2

S кон. = π r· ( l + r )

Усеченным конусом

называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию

Площадь боковой поверхности усеченного конуса

Вопрос №1: Какая фигура является основанием цилиндра?

в) Квадрат

Вопрос №2 : Чему равна площадь основания цилиндра с радиусом 2см?

Вопрос №3: Как называется отрезок отмеченный красным цветом?

а) диагональ цилиндра

б) апофема цилиндра

в)образующая

цилиндра

Вопрос №4: По какой формуле можно вычислить боковую поверхность цилиндра?

Вопрос №5: По какой формуле можно вычислить полную поверхность цилиндра?

Вопрос №6: Вычислите боковую поверхность данного цилиндра.

Вопрос №7: Вычислите полную поверхность данного цилиндра.

Вопрос №8: Чему равна площадь осевого сечения цилиндра радиуса 1см и образующей 3см?

Правильные ответы:

• На оценку «5»- 8 правильных ответов.
• На оценку «4»- 6 - 7 правильных ответов.
• На оценку «3»- 5 правильных ответов.
• На оценку «2»- 4 и менее правильных ответов.

№ вопроса

ответ

«... Читал я где-то, что царь однажды воинам своим велел снести земли по горсти в кучу. И гордый холм возвысился, и царь мог с высоты с весельем озирать и дол, покрытый белыми шатрами, и море, где бежали корабли.» А.С. Пушкин «Скупой рыцарь»

Конус в переводе с греческого «konos» означает

«сосновая шишка».

Определение : тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

ось конуса

вершина конуса (Р)

высота конуса (РО)

боковая (коническая) поверхность

образующие

основание конуса

радиус конуса (r)

Конус – тело вращения

Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета

Работаем в тетради:

ВЕРШИНА

ВЫСОТА h

ОБРАЗУЮЩАЯ L

РАДИУС

ОСНОВАНИЕ

Боковая поверхность конуса

• Если разрезать конус по образующей, то получим развертку конуса.

Полная поверхность конуса

• Зная формулу боковой поверхности конуса выведите формулу нахождения полной поверхности конуса

S полн =S бок +S осн

S бок =πRL

S осн =πR 2

S полн =πRL+πR 2

S полн =πR(L+R)

СЕЧЕНИЕ КОНУСА

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА

Осевое сечение конуса-это сечение, проходящее через его ось.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА

Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию, представляет собой круг с центром на оси конуса.

Образующая L

Высота h

Радиус R

Опорный конспект

Вершина

Боковая

поверхность

S бок =πRL

Полная

поверхность

S полн =πR(L+R)

Источники:

• Учебник «Геометрия 10-11» под ред. Л.С.Атанасян 2012
• 900igr.net
• Презентация Сивак Светланы Олеговнаы Гимназия № 56 Санкт-Петербург 20 11г

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Урок геометрии в 11 классе Работу выполнила учитель математики МБОУ «Острожская средняя общеобразовательная школа» Нохрина Т.А.

Тест по теме: «Цилиндр. Площадь его поверхности»

Вопрос №1: Какая фигура является основанием цилиндра? а) Овал б) Круг в) Квадрат

Вопрос №2: Чему равна площадь основания цилиндра с радиусом 2см? а) 4 π б) 8 π в) 4

Вопрос №3: Как называется отрезок отмеченный красным цветом? а) диагональ цилиндра б) апофема цилиндра в)образующая цилиндра

Вопрос №4: По какой формуле можно вычислить боковую поверхность цилиндра? а) 2 π Rh б) 2 π R(h+R) в) π R 2 h

Вопрос № 5: По какой формуле можно вычислить полную поверхность цилиндра? а) π R 2 h б) 2 π Rh в) 2 π R(h+R)

Вопрос №6: Вычислите боковую поверхность данного цилиндра. а) 15 π см 2 б) 30 π см 2 в) 48 π см 2 3см 5см 3см

Вопрос №7: Вычислите полную поверхность данного цилиндра. а) 32 π см 2 б) 24 π см 2 в) 16 π см 2 2см 6см

Вопрос № 8: Чему равна площадь осевого сечения цилиндра радиуса 1см и образующей 3см? а) 6 см 2 б) 3 см 2 в) 6 π см 2

Правильные ответы: № вопроса ответ 1 б 2 а 3 в 4 а 5 в 6 б 7 а 8 а На оценку «5»- 8 правильных ответов. На оценку «4»- 6 - 7 правильных ответов. На оценку «3»- 5 правильных ответов. На оценку «2»- 4 и менее правильных ответов.

«... Читал я где-то, что царь однажды воинам своим велел снести земли по горсти в кучу. И гордый холм возвысился, и царь мог с высоты с весельем озирать и дол, покрытый белыми шатрами, и море, где бежали корабли.» А.С. Пушкин «Скупой рыцарь»

Тема урока:

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». Историческая справка о конусе

Понятие конуса Определение: тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L , называется конусом. L Учебник стр. 135

боковая (коническая) поверхность высота конуса (РО) ось конуса вершина конуса (Р) основание конуса радиус конуса (r) Элементы конуса B r образующие P

Конусы вокруг нас

Карликовое дерево

Конусообраз-ные дома - трулли

Мороженное

Оградительные конусы

Туфовые дома (высечены в скале)

Кусты в королевском саду

Конусы - ракушки

Крыша-конус

Надувные конусы

Конус – тело вращения Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета

Работаем в тетради: ОСНОВАНИЕ ВЕРШИНА ВЫСОТА h R РАДИУС ОБРАЗУЮЩАЯ L L h

Боковая поверхность конуса Если разрезать конус по образующей, то получим развертку конуса. L A B C S бок = π RL

Полная поверхность конуса Зная формулу боковой поверхности конуса выведите формулу нахождения полной поверхности конуса R S полн =S бок +S осн S бок = π RL S осн = π R 2 S полн = π RL+ π R 2 S полн = π R(L+R)

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Осевое сечение конуса-это сечение, проходящее через его ось.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию, представляет собой круг с центром на оси конуса.

Образующая L Вершина Высота h Радиус R Боковая поверхность S бок = π RL Полная поверхность S полн = π R(L+R) Опорный конспект

Источники: Учебник «Геометрия 10-11» под ред. Л.С.Атанасян 2012 900igr.net Презентация Сивак Светланы Олеговнаы Гимназия № 56 Санкт-Петербург 20 11г

Слайд 1

Слайд 2

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,- вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Слайд 3

Р
вершина
образующие
основание
О
центр основания

Слайд 4

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Слайд 5

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 3).
В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 4).
(рис. 3).
(рис. 4)

Слайд 6

Усеченный конус
Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от него меньший конус. Оставшуюся часть называют усеченным конусом. Усеченный конус можно получить и как тело вращения. Усеченным конусом называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Круги O и O1 - его основания, его образующие AA1 равны между собой, прямая OO1 - ось, отрезок OO1 - высота. Его осевое сечение - равнобедренная трапеция.

Слайд 7

Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса.
Доказательство. Пусть - плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус (рис.5). Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности – окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана.
(рис.5)

Слайд 8

Площадь боковой поверхности усеченного конуса: $$S = pi(R_{1} + R_{2}) cdot l $$ Объем усеченного конуса: $$V = frac{1}{3}pi H(R^{2}_{1} + R_{1} cdot R_{2} + R^{2}_{2})$$, где h - высота усеченного конуса; R1,R2 - радиусы верхнего и нижнего оснований; l - образующая.

Слайд 9

В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.

Слайд 10

Дополнительная информация о конусе
По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 млн. жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №4 г.

Людиново, Калужской области.

КОНУС

Урок по геометрии в 11 классе

Учитель математики

первой квалификационной категории:

Молоткова Светлана Сергеевна

Конус

Урок геометрии в 11 классе.

Цель:

познакомить учащихся с геометрическим телом – конусом.

Задачи:

Формирование понятий конической поверхности, конуса.

Умение определять виды сечений.

Вывод формул площади боковой поверхности и площади полной поверхности конуса.

Умение работать с рисунком и читать его.

Применение знаний в решении задач.

Оборудование на уроке:

Медиапроектор. Презентация учителя, которая снабжена гипперсылками, может применяться и на последующих уроках для проверки знаний. У каждого ученика бумажный макет конуса, ножницы. Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. сред. Шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.

1. Организационный момент.

Сообщение темы урока (слайд 1), целей урока. Проверка готовности к уроку.

Мы построим урок по плану (слайд 2).

2. Объяснение новой темы.

Рассмотрим пространственную фигуру -«круглое», геометрическое тело-конус. Рассмотрите макет.

Рассмотрим рисунок – слайд 3. Используя знания по теме «Цилиндр», постарайтесь назвать элементы конуса.

Запишем новые понятия в тетрадь и построим чертеж конуса.

Рассмотрим из каких элементов состоит конус (слайд 4).

3. Отработка полученных знаний.

Чтение графика (слайд 5).

Изобразите на макете две образующие. Что вы можете сказать о них?

Конус–тело вращения .

С помощью вращения, какой геометрической фигуры получается конус? (слайд 6)

4. Сечения конуса.

Дается учителем определение сечения. Ученики записывают. По наводящим вопросам ученики должны сказать, что собой представляет данное сечение и его основные свойства. (слайд 7-10).

5. Историческая справка.

Слайд 11-12.

РАБОТА В ГРУППАХ

6. Развертка конуса.

Разрежьте бумажный макет по одной из образующих конуса.

Что за фигура получилась. Зарисуйте в тетради. (слайд 13).

САМООСОЗНАНИЕ

7. Вывод формул площади боковой поверхности и полной поверхности конуса.

Используя развертку конуса, вывести формулу боковой поверхности конуса

Вывести формулу полной поверхности конуса

АФИШИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

(слайд 14), (слайд 15).

Представитель от каждой группы афиширует результаты.

8. Формирование умений и навыков.

Задача №547- устно (слайд 16).

Задача №549(а) с записью в тетрадях (слайд 17).

9. Подведение итогов. Рефлексия. Постановка домашнего задания.

Слайд 18.

Если позволяет время, можно провести проверочный диктант с самопроверкой (слайд 19).

Учитель математики Молоткова Светлана Сергеевна

Калькуляторы